一、学习目标

• 建立六年级数学主要知识之间的联系，形成清晰的知识网络。
• 熟练进行分数乘除法、比和比例的基本计算。
• 能综合运用方向、圆、比例和数学思考方法解决实际问题。
• 会整理错题、选择检验方法，并根据薄弱点制订复习计划。

二、核心概念

整理不是简单地重做题目，而是把零散知识按“概念—方法—联系—应用”组织起来。复习时应先理解数量关系，再选择算式；先保证正确，再提高速度。

六年级重点可以归纳为四条主线：分数运算、比与比例、图形与位置、综合实践与数学思考。

三、重点知识

常用公式：

$$\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd},\qquad \frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}$$ $$C=2\pi r=\pi d,\qquad S=\pi r^2$$ $$a:b=c:d\Longrightarrow ad=bc$$

四、知识点讲解

下面的知识图把本页最重要的数量关系放在同一张图中，先看图，再结合后面的步骤理解。

1. 用单位“1”串联分数乘除法

已知单位“1”，求它的几分之几，用乘法；已知一个数量及其对应分率，求单位“1”，用除法或方程。

2. 区分比与比例

比表示两个数相除的关系，如 $2:3$；比例表示两个比相等，如 $2:3=4:6$。解比例的依据是两个外项的积等于两个内项的积。

3. 图形问题先画图再选公式

圆的周长表示边界长度，面积表示内部大小。组合图形应先分析由哪些基本图形组成，再使用相加或相减的方法。

4. 应用题的通用步骤

1. 圈出已知量、未知量和单位。
2. 用线段图、表格或关系式表示条件。
3. 列式并分步计算。
4. 用估算、代回、逆运算或单位检查。
5. 用完整句子回答问题。

5. 制订复习计划

将错题分为“概念不清、关系判断错误、计算错误、审题遗漏”四类。每天选择一类完成少量针对练习，比无目标地大量刷题更有效。

五、易错点

六、例题

1. 分数与比综合

甲、乙两桶水的质量比为 $3:5$。从乙桶倒出 12 千克后，两桶水同样重。原来两桶水各有多少千克？

解析： 原来乙桶比甲桶多 $5-3=2$ 份，这 2 份正好是 12 千克，所以每份为 $12\div2=6$ 千克。

$$\text{甲}=6\times3=18\text{（千克）},\qquad \text{乙}=6\times5=30\text{（千克）}$$

答案： 甲桶 18 千克，乙桶 30 千克。

2. 圆的实际问题

圆形花坛半径为 4 米，沿花坛外围铺一条宽 1 米的环形小路。小路面积是多少？取 $\pi\approx3.14$。

解析： 外圆半径为 $4+1=5$ 米。

$$S=3.14\times(5^2-4^2)=3.14\times9=28.26\text{（平方米）}$$

答案： 28.26 平方米。

七、练习题和答案

1. 计算 $\frac{3}{5}\times\frac{10}{9}\div\frac{4}{7}$。
2. 把 72 按 $5:7$ 分成两部分。
3. 在比例 $x:15=4:5$ 中，求 $x$。
4. 一个圆的直径扩大到原来的 3 倍，它的周长和面积分别扩大到原来的多少倍？
5. 盒中有红、黄、蓝三种颜色的球，至少摸出多少个才能保证有 5 个同色？
6. 一项工程，甲队单独完成需要 12 天，乙队的工作效率是甲队的 $\frac{3}{2}$。两队合作几天完成？

参考答案

1. $\frac{7}{6}$。
2. 总份数为 12，两部分为 $72\times\frac{5}{12}=30$ 和 $72\times\frac{7}{12}=42$。
3. $5x=15\times4$，所以 $x=12$。
4. 周长扩大到 3 倍，面积扩大到 $3^2=9$ 倍。
5. 最不利时每种颜色各摸 4 个，再摸 1 个，至少 $4\times3+1=13$ 个。
6. 甲效率为 $\frac{1}{12}$，乙效率为 $\frac{1}{12}\times\frac{3}{2}=\frac{1}{8}$，合作时间为 $1\div(\frac{1}{12}+\frac{1}{8})=\frac{24}{5}$ 天，即 $4\frac{4}{5}$ 天。