一、学习目标

• 认识列表、画图、枚举、假设、转化、分类等常用数学思考方法。
• 能从复杂情境中提取数量关系，选择合适策略解决问题。
• 会有顺序地尝试，做到不重复、不遗漏。
• 能解释自己的思考过程，并用另一种方法检验结论。

二、核心概念

“数学广角”不是记一个固定公式，而是学习解决陌生问题的策略。面对问题时，可以经历以下过程：读懂条件、寻找规律、选择表示方法、推理计算、检验解释。

同一个问题常有多种解法。好方法应当条件用得完整、步骤清楚、计算简洁，并能推广到相似问题。

三、重点知识

四、知识点讲解

下面的知识图把本页最重要的数量关系放在同一张图中，先看图，再结合后面的步骤理解。

1. 有序思考

枚举时先固定一个条件，再改变另一个条件。例如用 2、4、6 组成没有重复数字的两位数，可先固定十位，再依次选择个位：24、26、42、46、62、64，共 6 个。

2. 画图与转化

遇到“重叠”“包含”“相遇”等关系时，画图能把文字条件转化为直观关系。复杂的分数问题也可以通过线段图找准单位“1”。

3. 假设与调整

鸡兔同笼类问题可先假设全是鸡。如果鸡兔共有 $n$ 只，脚共有 $m$ 只，假设全是鸡时有 $2n$ 只脚，多出的每 2 只脚对应 1 只兔，所以：

$$\text{兔数}=\frac{m-2n}{4-2}$$

4. 从特殊到一般

先研究较小数据，观察规律，再猜想一般结论，最后用题目条件验证。规律必须经过检验，不能只凭一两个例子下结论。

五、易错点

六、例题

1. 有序枚举

从 1、2、3、4 中选两个不同数字组成两位偶数，共有多少个？

解析： 个位必须是 2 或 4。个位是 2 时，十位可取 1、3、4，共 3 个；个位是 4 时，十位可取 1、2、3，共 3 个。

答案： $3+3=6$（个）。

2. 假设法

鸡和兔共有 15 只，共有 42 只脚。鸡、兔各有多少只？

解析： 假设全是鸡，应有 $15\times2=30$ 只脚。实际多 $42-30=12$ 只脚，每把一只鸡换成兔会多 2 只脚。

$$\text{兔}=12\div2=6\text{（只）},\qquad\text{鸡}=15-6=9\text{（只）}$$

答案： 鸡 9 只，兔 6 只。

七、练习题和答案

1. 用 0、3、5 组成没有重复数字的两位数，共有多少个？
2. 10 枚硬币中有 1 枚较轻，使用没有砝码的天平，至少称几次一定能找出？
3. 鸡兔共有 20 只，共有 56 只脚。鸡兔各多少只？
4. 判断：根据数列 2、4、6 的前三项，可以断定下一项一定是 8。
5. 甲、乙、丙三人比赛，每两人赛一场，一共要赛多少场？请写出有序列举过程。

参考答案

1. 30、35、50、53，共 4 个。
2. 3 次。可先分成 3、3、4，逐步缩小范围。
3. 假设全是鸡，兔有 $(56-20\times2)\div2=8$（只），鸡有 12 只。
4. 错。有限项可能符合多种规律，必须有明确生成规则。
5. 甲—乙、甲—丙、乙—丙，共 3 场。