一、学习目标

• 理解比表示两个数量相除的关系，认识比的前项、后项和比值。
• 掌握比、除法和分数之间的联系与区别。
• 会运用比的基本性质化简整数比、分数比和小数比。
• 能解决按比分配和生活中的比的问题。

二、核心概念

两个数相除又叫作两个数的比。$a\div b$ 可以写成 $a:b$，读作“$a$ 比 $b$”。其中 $a$ 是比的前项，$b$ 是比的后项，$a\div b$ 的结果叫作比值。比的后项不能为 0。

$$a:b=a\div b=\frac{a}{b}\quad(b\ne0)$$

比表示关系，比值是一个数；化简比的结果仍写成比，求比值的结果可写成分数、小数或整数。

三、重点知识

比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为 0 的数，比值不变。

四、知识点讲解

下面的知识图把本页最重要的数量关系放在同一张图中，先看图，再结合后面的步骤理解。

1. 同类量与不同类量的比

同类量相比要先统一单位。例如，2 米与 50 厘米的比为：

$$200:50=4:1$$

不同类量的比会产生新的意义。例如，路程与时间的比表示速度。

2. 化简比

整数比可同时除以前项和后项的最大公因数；分数比可同时乘分母的最小公倍数；小数比可先同时扩大成整数比。

$$\frac{2}{3}:\frac{5}{6} =\left(\frac{2}{3}\times6\right):\left(\frac{5}{6}\times6\right) =4:5$$

3. 求比值

求比值就是用前项除以后项。例如，$18:24$ 的比值为：

$$18\div24=\frac{3}{4}$$

化简比则写成 $3:4$，两种答案形式不同。

4. 按比分配

把总量按照 $m:n$ 分配，总份数为 $m+n$，两部分分别为：

$$\text{第一部分}=\text{总量}\times\frac{m}{m+n}$$ $$\text{第二部分}=\text{总量}\times\frac{n}{m+n}$$

五、易错点

六、例题

1. 化简比

化简 $0.75:\frac{3}{5}$。

解析： $0.75=\frac{3}{4}$，再同时乘 20：

$$\frac{3}{4}:\frac{3}{5}=15:12=5:4$$

答案： $5:4$。

2. 按比分配

学校把 84 本图书按 $3:4$ 分给六（1）班和六（2）班。两个班各分多少本？

解析： 总份数是 $3+4=7$。

$$84\times\frac{3}{7}=36,\qquad84\times\frac{4}{7}=48$$

答案： 六（1）班 36 本，六（2）班 48 本。

七、练习题和答案

1. 写出 $8:12$ 的最简整数比和比值。
2. 化简 $1.5:0.9$。
3. 甲、乙两数的比是 $2:5$，两数和是 56，甲、乙各是多少？
4. 判断：比的前项和后项同时加 3，比值不变。
5. 一杯蜂蜜水中蜂蜜与水的质量比为 $1:9$，配制 500 克这样的蜂蜜水，需要蜂蜜和水各多少克？

参考答案

1. 最简整数比是 $2:3$，比值是 $\frac{2}{3}$。
2. $5:3$。
3. 甲为 $56\times\frac{2}{7}=16$，乙为 40。
4. 错。基本性质要求同时乘或除以同一个不为 0 的数。
5. 蜂蜜 $500\times\frac{1}{10}=50$（克），水 450 克。