一、学习目标

• 理解倒数的意义，会求一个非零数的倒数。
• 理解分数除法与分数乘法的联系，掌握分数除法计算方法。
• 会解决“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的实际问题。
• 能借助估算、乘除互逆关系和代入检验答案。

二、核心概念

乘积是 1 的两个数互为倒数。$a\ne0$ 时，$a$ 的倒数是 $\frac{1}{a}$；$\frac{a}{b}$ 的倒数是 $\frac{b}{a}$。0 没有倒数，1 的倒数仍是 1。

除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数：

$$a\div\frac{b}{c}=a\times\frac{c}{b}\quad(b\ne0,c\ne0)$$

三、重点知识

四、知识点讲解

下面的知识图把本页最重要的数量关系放在同一张图中，先看图，再结合后面的步骤理解。

1. 认识倒数

因为 $\frac{3}{5}\times\frac{5}{3}=1$，所以 $\frac{3}{5}$ 与 $\frac{5}{3}$ 互为倒数。“互为”表示两个数之间的关系，不能单独说某个数“是倒数”。

2. 分数除法计算

计算 $\frac{4}{9}\div\frac{8}{15}$：

$$\frac{4}{9}\div\frac{8}{15} =\frac{4}{9}\times\frac{15}{8} =\frac{5}{6}$$

变号以后应先约分再相乘。

3. 已知部分求整体

“一条公路已修 18 千米，占全长的 $\frac{3}{5}$”，全长是单位“1”。数量关系为：

$$\text{全长}\times\frac{3}{5}=18$$

因此：

$$\text{全长}=18\div\frac{3}{5}=30\text{（千米）}$$

4. 用方程解决复杂问题

遇到“比单位‘1’多或少几分之几”时，可以设单位“1”的量为 $x$。例如，某数比 $x$ 少 $\frac{1}{4}$，可表示为 $x(1-\frac{1}{4})$。

五、易错点

六、例题

1. 计算题

计算 $\frac{5}{6}\div10\div\frac{1}{4}$。

解析： 连续除法从左到右计算，也可依次转化为乘倒数。

$$\frac{5}{6}\times\frac{1}{10}\times4=\frac{1}{3}$$

答案： $\frac{1}{3}$。

2. 应用题

一本故事书，小华读了 84 页，正好是全书的 $\frac{7}{12}$。全书有多少页？

解析： 已知部分量和对应分率，求单位“1”。

$$84\div\frac{7}{12}=84\times\frac{12}{7}=144\text{（页）}$$

答案： 144 页。

七、练习题和答案

1. 写出 $\frac{7}{11}$ 和 $2\frac{1}{3}$ 的倒数。
2. 计算 $\frac{9}{10}\div\frac{3}{5}$。
3. 一种裤子降价 $\frac{1}{5}$ 后售价 160 元，原价多少元？
4. 判断：$a\div\frac{2}{3}=a\times\frac{3}{2}$ 对所有数 $a$ 都成立。
5. 修路队第一天修了全长的 $\frac{2}{7}$，第二天修了 600 米，两天共修全长的 $\frac{5}{7}$。公路全长多少米？

参考答案

1. $\frac{11}{7}$；$\frac{3}{7}$。
2. $\frac{3}{2}$。
3. $160\div(1-\frac{1}{5})=200$（元）。
4. 对，除数 $\frac{2}{3}$ 不为 0；$a$ 可以为任意数。
5. 第二天对应全长的 $\frac{5}{7}-\frac{2}{7}=\frac{3}{7}$，全长为 $600\div\frac{3}{7}=1400$（米）。